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graphe_general(dictionnaire_trajectoire_sans_frottement_niveau_du_sol, "temps","position verticale")
La 2eme Loi de Newton en mecanique etablit que dans un référentiel galiléen, la dérivée de la quantité de mouvement (masse fois vitesse) est égale à la somme des forces extérieures qui s'exercent sur le solide. Ce qui s'ecrit sous la forme: $$\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(m \vec{v})}{dt}=\sum_{i} \vec{F_{i}}$$
Ici on ne s'interessera qu'a 2 forces: le poids et une force de frottement qui s'oppose au mouvement et est proportionnelle a la vitesse (le coefficient de proportionnalite est note alpha). On peut donc reecrire l'equation differentielle en v=v(t) precedente de la maniere suivante: $$\frac{d(m \vec{v})}{dt}=m \vec{g} - \alpha \vec{v} $$ qui se simplifie encore sous la forme: $$\frac{d\vec{v}}{dt}= \vec{g} - \frac{\alpha}{m} \vec{v} $$ Il s'agit d'une equation differentielle du premier ordre pour la fonction vectorielle v=v(t) et d'une equation differentielle du deuxieme ordre pour la fonction vectorielle position OM=OM(t):
$$\frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}= \vec{g} - \frac{\alpha}{m} \frac{d\vec{OM}}{dt} $$
Dans le cas ou les frottements sont negliges (ie alpha)sur_masse=0), on retombe dans le cas usuel pour lequel les accelerations sont constantes et des formules explicites existent pour les positions et les vitesses. Dans le cas ou les frottements ne sont pas negliges, la resolution explicite de l'equation differentielle associee est plus compliquee. Il peut alors etre interessant d'utiliser la methode d'Euler c'est a dire une procédure numérique pour résoudre par approximation des équations différentielles.
from math import cos, sin, pi
import matplotlib.pyplot as plt
dictionnaire_legende ={ "position horizontale": "Distance horizontale (metre m)",
"position verticale": "Hauteur (metre m)",
"vitesse horizontale": "Vitesse horizontale (metre par seconde m/s)",
"vitesse verticale":"Vitesse verticale (metre par seconde m/s)",
"acceleration horizontale":"Acceleration verticale (metre par seconde au carre m/s^2)",
"acceleration verticale":"Acceleration horizontale (metre par seconde au carre m/s^2)",
"temps":"Temps (seconde s)"}
def degree_to_radian(theta):
# real -> real
# Convertit un angle de degre en radian
return theta * pi / 180
def trajectoire(g, v_0, theta, dt, alpha = 0, x_0 = 0, y_0 = 0):
x, y, v_x, v_y, a_x, a_y, t = [], [], [], [], [], [], []
x.append(x_0)
y.append(y_0)
angle_radian = degree_to_radian(theta)
v_x.append(v_0 * cos(angle_radian))
v_y.append(v_0 * sin(angle_radian))
a_x.append(0 - alpha * v_x[0])
a_y.append(- g - alpha * v_y[0])
t.append(0)
i = 0
continuer = True
if dt <= 0:
print("le pas de temps ne peut pas etre negatif ou nul")
return
while i<1e4 and continuer:
a_x.append(0 - alpha * v_x[i])
a_y.append(- g - alpha * v_y[i])
v_x.append(v_x[i] + a_x[i] * dt)
v_y.append(v_y[i] + a_y[i] * dt)
y_temp = y[i] + v_y[i] * dt
if y_temp>=0:
x.append(x[i] + v_x[i] * dt)
y.append(y_temp)
t.append(t[i]+dt)
else:
dt_temp = - y[i] / v_y[i]
x.append(x[i] + v_x[i] * dt_temp)
y.append(y[i] + v_y[i] * dt_temp)
t.append(t[i]+dt_temp)
continuer = False
i += 1
return {"position horizontale":x,
"position verticale":y,
"vitesse horizontale": v_x,
"vitesse verticale":v_y,
"acceleration horizontale":a_x,
"acceleration verticale":a_y,
"temps":t}
def cree_dictionnaire_trajectoire_par_rapport_angle(liste_angle, g, v_0, dt, alpha, x_0, y_0):
# list, real, real, real, real, real, real -> dict
# Genere des trajectoires une liste liste_angle de differents angles et les autres conditions initiales
dictionnaire = {}
for angle_ in liste_angle:
dictionnaire[angle_] = trajectoire(g, v_0, angle_, dt, alpha, x_0, y_0)
return dictionnaire
def graphe_general(dictionnaire_trajectoire, abcisse, ordonnee):
# dict, str, str ->
# Retourne un graphique representant ordonnee en fonction d'abcisse
# pour la trajectoire definie par le dictionnaire dictionnaire_trajectoire
plt.rcParams["figure.figsize"] = (18,6)
longueur_maximale = 0
for cle in dictionnaire_trajectoire.keys():
trajectoire = dictionnaire_trajectoire[cle]
plt.plot(trajectoire[abcisse], trajectoire[ordonnee], label=str(cle)+' degres')
if ordonnee == "position verticale":
portee_trajectoire = max(trajectoire[abcisse])
if portee_trajectoire > longueur_maximale:
longueur_maximale = portee_trajectoire
if ordonnee == "position verticale":
plt.plot([0,longueur_maximale],[0,0], label="sol", color='black')
hauteur_initiale = trajectoire[ordonnee][0]
plt.plot([0,longueur_maximale],[hauteur_initiale,hauteur_initiale], color='black',linestyle=':')
plt.legend()
plt.xlabel(dictionnaire_legende.get(abcisse), fontsize=14)
plt.ylabel(dictionnaire_legende.get(ordonnee), fontsize=14)
plt.xticks(fontsize = 14)
plt.yticks(fontsize = 14)
plt.show()
def graphe_avec_et_sans_frottement(dict_trajectoire_sans_f, dict_trajectoire_avec_f, angle, abcisse, ordonnee):
# dict, dict, real, str, str ->
plt.rcParams["figure.figsize"] = (18,6)
trajectoire_sans = dict_trajectoire_sans_f[angle]
trajectoire_avec = dict_trajectoire_avec_f[angle]
plt.plot(trajectoire_sans[abcisse],trajectoire_sans[ordonnee], label='Sans Frottement')
plt.plot(trajectoire_avec[abcisse],trajectoire_avec[ordonnee], label='Avec Frottement')
if ordonnee == "position verticale":
longueur_maximale = max(max(trajectoire_sans[abcisse]), max(trajectoire_avec[abcisse]))
hauteur_initiale = trajectoire_sans[ordonnee][0]
plt.plot([0,longueur_maximale],[0,0], label="sol", color='black')
plt.plot([0,longueur_maximale],[hauteur_initiale,hauteur_initiale], color='black',linestyle=':')
plt.legend()
plt.xlabel(dictionnaire_legende.get(abcisse), fontsize=14)
plt.ylabel(dictionnaire_legende.get(ordonnee), fontsize=14)
plt.xticks(fontsize = 14)
plt.yticks(fontsize = 14)
plt.show()
liste_angle = [10*i for i in range(1,9)] + [45]
liste_angle.sort()
dt = 0.01 # pas de temps utilise en seconde s
g = 9.81 # acceleration de la pesanteur en m.s^-2, valeur precise 9.81 m.s^-2
v_0 = 20 # vitesse initiale en m/s
alpha_sur_masse = 1
x_0, y_0 = 0, 0 # position initiale
dictionnaire_trajectoire_sans_frottement_niveau_du_sol = cree_dictionnaire_trajectoire_par_rapport_angle(liste_angle, g, v_0, dt, 0, x_0, y_0)
dictionnaire_trajectoire_avec_frottement_niveau_du_sol = cree_dictionnaire_trajectoire_par_rapport_angle(liste_angle, g, v_0, dt, alpha_sur_masse, x_0, y_0)
y_1 = 50 # position initiale
dictionnaire_trajectoire_sans_frottement_surrevele = cree_dictionnaire_trajectoire_par_rapport_angle(liste_angle, g, v_0, dt, 0, x_0, y_1)
dictionnaire_trajectoire_avec_frottement_surrevele = cree_dictionnaire_trajectoire_par_rapport_angle(liste_angle, g, v_0, dt, alpha_sur_masse, x_0, y_1)
graphe_general(dictionnaire_trajectoire_sans_frottement_niveau_du_sol, "temps","position verticale")
graphe_general(dictionnaire_trajectoire_sans_frottement_niveau_du_sol, "position horizontale","position verticale")
graphe_general(dictionnaire_trajectoire_avec_frottement_niveau_du_sol, "temps","position verticale")
graphe_general(dictionnaire_trajectoire_avec_frottement_niveau_du_sol, "position horizontale","position verticale")
angle = 30
graphe_avec_et_sans_frottement(dictionnaire_trajectoire_sans_frottement_surrevele, dictionnaire_trajectoire_avec_frottement_surrevele, angle, "position horizontale","position verticale")
angle = 30
graphe_avec_et_sans_frottement(dictionnaire_trajectoire_sans_frottement_surrevele, dictionnaire_trajectoire_avec_frottement_surrevele, angle, "temps","position verticale")
angle = 30
graphe_avec_et_sans_frottement(dictionnaire_trajectoire_sans_frottement_surrevele, dictionnaire_trajectoire_avec_frottement_surrevele, angle, "temps","position horizontale")
